: 状態フィードバックによる極配置問題
: sysconh16
: 線形システムに対するリアプノフの安定定理
前節の定理5.6ではを正定ととったが,可観測性に関連するある条件を満たせば
は準正定であってもよいことが知られている.本節ではこれについて説明する.
定理5.7 を可観測対とする.このときが漸近安定行列(すなわち
が漸近安定)であるための必要十分条件は
|
(19.1) |
の解が正定となることである.
証明 十分性を示す.リアプノフ関数の候補としてととる.明らかには正定であり,
より
であるからはリアプノフ関数である.このが定理5.5の条件2'.を満たすこと,すなわち任意のに対するシステム(17.1)の解がにおいて恒等的には
とはならないことを示す.
背理法により証明するため任意の初期値に対するの解が恒等的に
を満たすものとする.すると
が得られ,これをに関して回微分すると
となり,これらをまとめると
|
(19.2) |
となる.ところがは可観測対であり,は正則行列であるので
である.これと(19.2)式より明らかにでなければならず,矛盾する.
したがって
となり,原点は漸近安定である.
必要性については省略する(各自で確認).
endo
平成16年6月30日