状態フィードバックによる極配置問題

$m$入力で$n$次元状態変数をもつ線形システム

$$\dot{x} = Ax + Bu$$ (20.1)

において，状態$x$が直接計測できる場合，すなわち

$$y = x$$ (20.2)

と置ける場合を考える．このシステムの安定性，過渡応答特性などは，その$n$個の極の配置に大きく左右される．極と安定性の関係については前章で示したので，ここでは極と過渡応答の関係を簡単な例により示す．

 

例6.1　システム

$$\dot{x} = \left[ \begin{array}{cc} 0 & 1 -a_0 & -a_1 \end... ...t[ \begin{array}{c} 0 a_0 \end{array}\right] u, \quad y = x$$

を考える． ただし， $a_0 > 0, a_1 > 0$とする．このシステムの伝達関数行列は

$$\begin{eqnarray*} G(s) &=& C(sI-A)^{-1}B = \left[ \begin{array}{cc} s & -1 a... ..._ns+\omega_n^2}\left[ \begin{array}{c} 1 s \end{array}\right] \end{eqnarray*}$$

で与えられる． ただし， $\omega_n = \sqrt{a_0}, \zeta=a_1/(2\sqrt{a_0})$とした．したがってこのシステムの極は

$$\lambda_1,\lambda_2 = -\zeta\omega_n \pm \omega_n\sqrt{\zeta^2-1}$$

となる．これら$\lambda_i$については明らかに

• $\vert\zeta\vert > 1$のときには$\lambda_i$は実数 $-\zeta\omega_n \pm \omega_n\sqrt{\zeta^2-1}$，
• $\vert\zeta\vert = 1$のときには$\lambda_i$は実数の重解 $-\zeta\omega_n$，
• $0 < \vert\zeta\vert < 1$のときには$\lambda_i$は複素数 $-\zeta\omega_n \pm i\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}$，
• $\zeta=0$のときには$\lambda_i$は純虚数$\pm i\omega_n$

である． また，このシステムの極配置とインディシャル応答（ステップ応答）との関係は，図6.1のようになる．図より判るように，極が複素平面上で原点から遠いほど過渡応答の速度は速く（図6.1(b)の横軸スケールが$\omega_nt$であることから，同一の$\zeta$に対しても$\omega_n$が大きいほど収束が速いことに注意），原点から見た極の位置が負の水平方向に近いほど減衰が大きい．

 

さて，システム(20.1),(20.2)に対して，線形状態フィードバック制御則

$$u = Kx + v$$ (20.3)

を適用してみる．ただし，$K$は定数フィードバックゲイン行列，$v$は$u$に代わる新たな制御入力である．このとき制御系全体は図6.2のようになり，閉ループ系の状態方程式は

$$\dot{x} = (A + BK)x + Bv$$

となる．式の形は(20.1)式と同じであるが，状態変数$x$の係数行列が$A$から$(A+BK)$に変わっている点に注意されたい．これにより開ループ系の極が移動することから，開ループ系の極が複素平面上の望ましい位置にない場合に，制御則(20.3)などによって，閉ループ系を構成し，その極を希望する位置に配置する問題を極配置問題という．

次に状態フィードバックによる極配置が有効であることを示す簡単な例を与える．

 

例6.2　電機子制御直流サーボモータについて考える．$\theta$をモータの回転角とし，

$$x = \left[ \begin{array}{c}\theta \dot{\theta}\end{array}\right]$$

とおくとき，モータの状態方程式が

$$\dot{x} = \left[ \begin{array}{cc} 0 & 1 0 & -c_1 \end{ar... ...right]x + \left[ \begin{array}{c}0 c_2 \end{array}\right] u$$

で与えられるものとする．ただし，$c_2 \neq 0$とする． このシステムの極は$\{0, -c_1\}$である．いま，

$$u = \left[ \begin{array}{cc}k_1 & k_2 \end{array}\right] x + v$$

なる状態フィードバックを与えると，閉ループ系は

$$\dot{x} = \left[ \begin{array}{cc} 0 & 1 k_1 c_2 & -c_1+k... ...ght] x + \left[ \begin{array}{c} 0 c_2 \end{array}\right] v$$

となり，閉ループ系の極は

$$s^2 + (c_1 - k_2 c_2)s - k_1 c_2 = 0$$

の根で与えられる．よって，この極を $\lambda_1,\lambda_2$に配置したいときには $k_1,k_2$を

$$\begin{eqnarray*} k_1 &=& -\lambda_1\lambda_2 / c_2 \\ k_2 &=& (c_1 + \lambda_1 + \lambda_2) / c_2 \end{eqnarray*}$$

とすればよい．したがって， $\lambda_1,\lambda_2$の配置を適当に決めることができ，これにより適切な応答速度と減衰をもたせることができる．