: 伝達関数と状態方程式
: sysconh16
: 行列指数関数と状態方程式の解
ここでは遷移行列を具体的に求める方法について述べる.(2.5)式からも判るように,遷移行列は行列の無限級数で定義される.したがって,(2.5)式から直接これを求めることは困難である.このことから,まず第1の方法としてラプラス変換を利用した求め方を紹介する.
行列の各要素をラプラス変換して得られる行列をで表すことにする.すなわち
とする.(2.6)式を初期条件(2.9)の下でラプラス変換すれば
であり,関数で表せば
となる.これを整理すれば
よって
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(3.1) |
以上により,与えられた行列の遷移行列が(3.1)式により与えられることがわかる.
例2.3 (3.1)式を用いて,行列
に対する遷移行列を求める.まずを計算すると
となる.したがって,上式の各要素をラプラス逆変換すると
となる.
第2の方法として,ラプラス変換を用いない方法がある.次正方行列の相異なる固有値を
とし,各の重複度をとする.明らかに
が成り立つ.したがって,行列の特性多項式
は
で与えられる.ただし,はの相異なる固有値で,はその重複度を表し,
である.
これに対し、時間の関数
を係数として次多項式
を考えるとは
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(3.2) |
によって与えられる.ただし
は,
を
のに関する階微係数とするとき,次式を満足するものとする.
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(3.3) |
実際,(3.2)式により行列指数関数が与えられることを示す.
任意のに対して関数を
で定義する.上式を両辺についての階導関数を求めると
を得る.これと(3.3)式より
とに対し
が成り立つ.したがって,
は,
を因数として持つ.ゆえに
は,の特性多項式
を因数として持つ.さらにケーリー・ハミルトンの定理より
であるから
よって
となる.
例2.4 (3.2)式を用いて行列
に対する行列指数関数を求めてみる.
より,特性多項式は
となる.したがって,の固有値とその重複度は
である.行列は3次正方行列であるから.すなわち,
とおくと,(3.3)式より
となる.また,(3.2)式より
となる.したがって,(3.4)〜(3.7)式より,
となる.
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endo
平成16年6月30日