主成分の寄与率

$p$ 個の変数があるとき主成分も$p$ 個求めることができる。 主成分分析はデータがもつ$p$ 個の変数の線形結合を主成分として分析を行う方法であるから、それぞれの主成分がもとのデータをどの程度説明しているかを示す尺度が必要となる。 その尺度として寄与率がある。 第$k$ 主成分の最大値は第$k$ 固有値 $\lambda _k$ であるから、寄与率は次式で表すことができる。

$$\frac{\lambda _k}{\displaystyle \sum^p_{i=1} \lambda _i} = \frac{\lambda _k}{p}$$ (2.19)

上式で固有値の性質から $\sum^p_{i=1} \lambda _i = tr(\myvec {R}) = p$ となる。 また、寄与率を第1主成分から順に累積していったものを累積寄与率といい、第$k$ 主成分までの累積寄与率は次式のようになる。

$$\frac{\displaystyle \sum^k_{i=1} \lambda _i}{\displaystyle \sum^p_{i=1} \lambda _i} = \frac{\displaystyle \sum^k_{i=1} \lambda _i}{p}$$ (2.20)

固有値が1以上のものを選んだり、累積寄与率が $80\%$ を超えるということが主成分選択の基準としてよく用いられる。