: 実現問題
: sysconh16
: 正準変換
1入力1出力の線形システム
に対し,ラプラス変換により伝達関数が
で求められることは既に示した.
本節の目的は,上記の考え方を多入力多出力システムに拡張することにある.
以下のシステムを考える:
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(11.1) |
ここで状態,入力,出力はそれぞれ次,次,次列ベクトルであるとする.すなわち係数行列は行列,は行列,は行列である.
(11.1)式をラプラス変換し,入力と出力の比を求めると,
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(11.2) |
である.念のためは,を
としたときの各成分ごとのラプラス変換を表す:
したがって,(11.2)式で求められる行列を
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(11.3) |
とすると,各は入力の第要素から出力の第要素への伝達関数を表すものと考えられる.このことからを伝達関数行列と呼ぶ.
定理4.1 互いに同値なシステムに対する伝達関数行列は,すべて等しい.
(証明)同値変換のところで既に証明済み.
定理4.2 システムの伝達関数行列は,システムのカルマン正準分解における可制御,可観測なサブシステムの係数行列
によって
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(11.4) |
と表される.
(証明) 前節の定理からシステムのカルマン正準分解
に対し,逆行列の公式
を使いを求める.このためを次のようにブロック化しておく:
これによりは
ここで
は
であるから(
も同様),
となる.ここでは特に値を必要としないのでこのようにあらわす.
よって
となる.
以上の定理からシステムの伝達関数行列は,その可制御可観測なサブシステムが同値であれば,他のサブシステムがどんなに異なっていようと同じ伝達関数行列を持つ.
例4.1 例3.10に対して,がの特性を表していることを確かめる.正準分解形
よりは
となる.他方の伝達関数行列は,教科書p.61式(3.61),(3.62)より
でありである.
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endo
平成16年6月30日