本研究におけるニューラルネットワークの学習は、
バックプロパゲーション法(back-propagation,誤差逆伝搬法)
を用いた。
まずバックプロパゲーションについて説明する前に、
一般デルタルールについて説明する。
ある素子 j の入力総和 
は、他の素子 i の出力 
と、
重み 
をかけて加えたものである。
また、出力 
は入力の総和に単調増加関数 f に
代入したもので表されることにする。
即ち、
と表せる。ただし、閾値は重みの一つとして含まれていると考える。 ここで、出力関数 f はシグモイド関数を用いることにする。 これは微分可能な関数であり，解析的に問題を解くことが可能になるからである。
次に、神経回路における学習を一般化して考える。
はある入力 c に対して
出力素子 j が出すべき望ましい出力、
はその時の出力素子が実際にした出力である。
この時の学習評価として、次のような「誤差関数 E」を
となる。このような形の誤差関数を最小にする手続きを一般に
「最小2乗平均誤差法」(least mean square ,LMS)という。
はその時の素子間の結合の強さ、
すなわち重み で決まるため、
誤差関数も重みに関して陰(implicit)に定義された関数となる。
したがって、各重みの値を軸としてできる空間を考え、
さらにこの誤差関数 E によって定義される値を高さと考えれば、
E は重み空間上の超曲面として「誤差曲面」を与えることになる。
任意の重み状態から，この誤差曲面の極小値に達するには、
例えば各重みを、
に比例した量
ずつ変化させていけばよいことになる。 これは誤差曲面上を最も急な傾斜方向に進んでいくことに相当し、 このような学習則を一般に 「最急降下法」(gradient decent method)という。
さて、式(4.1)のように素子の性質が定義されていれば、 式(4.3)は合成関数の微分公式により、
と展開できる（添字 c は省略）。 式（4.1）を微分して代入すれば、
であるので、結局式(4.3)は、
となる。中間層が学習しない場合、
の項は
式(4.2)を微分することにより簡単に
と求めることができるので、式(4.7)より、
という学習則が得られる。 これを一般化デルタルールと呼ぶ。
