ベクトル空間の定義

ベクトル$v$の集合$V$は，次の条件を満たすとき，$R$上のベクトル空間と呼ばれる．

1. 任意のベクトル $x \in V, y \in V$に対して$z = x + y$を満たす$V$の要素が唯一つ存在し，以下の性質を満たす：
   1. 任意のベクトル$x,y,z \in V$に対して，
      
      
      が成り立つ．
   2. 任意のベクトル$x \in V$に対し，あるベクトル$0 \in V$が唯一つ存在し
      
      
      
      が成り立つ．
   3. 任意のベクトル$x \in V$に対し，あるベクトル$y \in V$が唯一つ存在し
      
      
      
      が成り立つ．
2. 任意のベクトル$x \in V$とスカラー$a \in R$に対して，$x$のスカラー倍$ax$が$V$の元として一意に定まり（$ax \in V$），以下の性質を満たす：
   1. 任意のベクトル$x,y \in V$およびスカラー$a,b \in R$に対して線形性が成り立つ：
      $$\begin{eqnarray*} (a + b)x &=& ax + bx \\ a(x + y) &=& ax + ay \end{eqnarray*}$$
      
      

   2. 任意のベクトル$x \in V$および$a,b \in R$に対して$a(bx)=(ab)x$が成り立つ．
   3. 任意のベクトル$x \in V$と$R$の単位元1に対して$1 \cdot x = x$が成り立つ．