基底

ベクトル空間$R^n$に属する有限個のベクトルの集合 $\{x_1,x_2,\ldots,x_k\}$に対して，適当なスカラー$a_i$によって

$$x = a_1x_1 + a_2x_2 + \cdots + a_kx_k$$

と表されるベクトル$x$の集合$W \subset R^n$を考える．すると$W$もまたベクトル空間になり，これをベクトルの集合 $\{x_1,x_2,\ldots,x_k\}$によって張られる$R^n$の部分空間と呼び

$$W = {\rm span}\{x_1, x_2, \ldots, x_k\}$$

で表す．さらに $\{x_1,x_2,\ldots,x_k\}$が一次独立であるとき，すなわち

$$a_1 x_1 + a_2 x_2 + \cdots + a_k x_k = 0$$

となるスカラー $a_i\quad (k = 1, \ldots, k)$が$a_i = 0$以外には存在しないならば，部分空間$W$の次元は$k$であるといい，ベクトルの $x_1,x_2,\ldots, x_k$を$W$の基底と呼ぶ．ただし，空間$W$の基底は一意でないことに注意！  

例　次のような$R^3$の部分空間$W$を考える．

$$W = {\rm span}\{ \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \end{ar... ...T, \left[ \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \end{array}\right]^T\}.$$

この$W$の基底は明らかに $\left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \end{array}\right]^T$と $\left[ \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \end{array}\right]^T$であるが，別の基底

$$\left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \end{array}\right]^T,\quad \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \end{array}\right]^T$$

を考えることもできる．