クラスター分析

クラスター分析とは、与えられたデータをいくつかの集合に分類するデータ解析手法のことである。分類された後の集合をクラスターと呼ぶ。クラスター分析には、分類が階層的になる階層的クラスター分析とクラスター数を指定して分類する非階層的クラスター分析がある。この研究では階層的手法を使用するので階層的クラスター分析について説明する。階層的クラスター分析とは、データ間の類似度または非類似度に基づいて、最も似ているデータから順次集めてクラスターを形成していく。R言語ではクラスターを形成していく様子を樹形図で示すことができる。階層的クラスター分析はクラスター間の距離を決める方法にいくつかの種類があるが、その中から最近隣法、最遠隣法、群平均法、ウォード法について説明する。

最近隣法

2つのクラスターの中から、最も近いデータ間の距離を2つのクラスターの距離とする方法。Figure 3.2(a)では、クラスターabとクラスターbcの距離として距離$D_{bd}$ を選択し、Figure 3.2(b)のクラスターができる。

最遠隣法

2つのクラスターの中から、最も遠いデータ間の距離を2つのクラスターの距離とする方法。Figure 3.2では、クラスターabとクラスターbcの距離として距離$D_{ac}$ を選択し、Figure 3.2のクラスターができる。

群平均法

2つのクラスターの中から、それぞれデータを一つずつ選び距離を求め、それらの距離の平均値を2つのクラスターの距離とする方法。Figure 3.2(a)では、クラスターabとクラスターbcの距離として、距離 $D_{ac},D_{ad},D_{bc},D_{bd}$ の平均を計算し、新しいクラスターを形成する。

ウォード法

２つのクラスターを融合した際に、群内の分散と群間の分散の比を最大化する基準でクラスターを形成していく方法。Figure 3.2(d)の場合、データb、cからなるクラスターが形成される。

最近隣法と最遠隣法にはそれぞれチェーンと拡散現象という性質があるので、次にその説明を示す。

チェーン

クラスターが大きくなるにつれ、他のデータと最短距離を多く持つようになり、次のクラスターの形成の候補に選ばれやすくなる現象。

拡散現象

クラスターが大きくなるにつれ、他のデータと最長距離を多く持つようになり、次のクラスターの形成の候補に選ばれにくくなる現象。

図 3.2: cluster

(a) sample		(b) single
*[10mm]
(c) complete		(d) Ward