同一次元状態オブザーバ

本節では，状態$x(t)$と同一の次元数をもつ状態オブザーバの一つを与える． すなわち，$p=n$の場合を考える．

まずシステム(8.1),(8.2)のモデルを

$$\dot{z} = Az + Bu$$ (24.1)

$$w = z$$ (24.2)

とおき，推定誤差$\xi = x - w$を考えると， $\dot{\xi} = A\xi$となる．したがって，$A$が安定行列ならば

$$\lim_{t \to \infty}\Vert\xi(t)\Vert = \lim_{t \to \infty} \Vert e^{At}\xi(0)\Vert = 0$$

であるから，システム(8.11),(8.12)は，一つの状態オブザーバとなっている．しかしその推定値$w$の真値$x$への収束速度は$A$に依存する．この収束速度を高め，また，安定でない$A$に対しても適用できるように，制御対象の出力$y$とそれに対応するモデルからの推定出力$Cz$との偏差にフィードバックゲイン$G$を乗じてモデルに加えて

$$\left\{ \begin{array}{l} \dot{z} = Az + Bu + G(y-Cz) \\ w = z \end{array}\right.$$ (24.3)

とする．これは(8.3),(8.4)式において

$$F = A-GC,\; H = B, \; W = I_n, \; V = 0$$

と取ることに対応する． したがって，$(A-GC)$が安定行列となるように$G$を選ぶことができれば， $U=I_n$とすることにより定理7.1の条件を満たし，システム(8.13)が (8.1),(8.2)に対する同一次元状態オブザーバとなる． さらにオブザーバの極，すなわち行列$(A-GC)$の固有値を任意に配置できれば， 推定誤差$\xi(t)$を任意の速さで０に収束させることができる． これに関して次の定理が成り立つ．

 

定理7.2　システム(8.1),(8.2)に対して，任意に設定した極をもつ同一次元状態オブザーバ(8.13)が存在するための必要十分条件は，対$(A,C)$が可観測なことである．

 

証明　対$(A,C)$が可観測であることは，対$(A^T,C^T)$が可制御であることに等しく，したがって，定理6.2より$(A^T+C^TK)$の固有値を任意に設定できることに等しい． このことは$(A+K^TC)$の固有値を任意に設定できることに等しく，これより(8.13)で$G=-K^T$としたものが設定された極をもつ同一次元状態オブザーバとなる．

 

１出力システムについてはアッカーマンのアルゴリズムを適用できる．すなわち，設定したい極を $\Lambda = \{ \lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n\}$とし，

$$(s-\lambda_1)(s-\lambda_2)\cdots(s-\lambda_n) = s^n + \beta_{n-1}s^{n-1}+ \cdots + \beta_1 s + \beta_0$$ (24.4)

とするとき，(21.7)式より，次式が得られる．

$$G = -k^T = (A^n + \beta_{n-1}A^{n-1} + \beta_{n-2}A^{n-2} + \cdots + \beta_0I)$$

$$\times M_O^{-1}\left[ \begin{array}{ccccc}0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \end{array}\right]^T$$ (24.5)

例7.1　システム

$$\dot{x} = \left[ \begin{array}{cc}1 & 1 0 & 1 \end{array}... ...]u,\quad y = \left[ \begin{array}{cc}1 & 1\end{array}\right] x$$

に対して， $\Lambda= \{ -1 \pm j\}$を極とする同一次元状態オブザーバを求める． まずこのシステムは可観測であるから，このようなオブザーバは存在する． そこで，(24.5)より，$G$は

$$\begin{eqnarray*} G &=& \left\{ \left[ \begin{array}{cc} 1 & 2 0 & 1 \end{arr... ...ght] \\ &=& \left[ \begin{array}{cc}-1 & 5 \end{array}\right]^T \end{eqnarray*}$$

と求められる． よって同一次元状態オブザーバは，(8.13)より

$$\begin{eqnarray*} \dot{z} &=& \left[ \begin{array}{cc}2 & 2 -5 & -4 \end{arra... ... + \left[\begin{array}{c} 0 1 \end{array}\right]u \\ w &=& z \end{eqnarray*}$$

で与えられる．