値域，零空間

$m \times n$実行列$A$によって定まるベクトル空間$R^n$からベクトル空間$R^m$への変換

$$y = Ax, \quad x \in R^n,\;y \in R^m$$

を考えると

$$A(\alpha_1 x_1 + \alpha_2 x_2) = \alpha_1 A x_1 + \alpha_2 A x_2$$

が成立する．上式を変換$A$の線形性と呼び，線形性の成り立つ変換を線形変換と呼ぶ．

任意の線形変換$A$に対して

$${\rm Im}A = \{ y \in R^m \vert \;y = Ax , x \in R^n\}$$

で表される$R^m$の部分空間${\rm Im}A$を変換$A$の値域という（${\rm Im}A$が部分空間になるかは各自検証）．また

$${\rm Ker}A = \{ x \in R^n \vert \; Ax = 0\}$$

で表される$R^n$の部分空間${\rm Ker}A$を変換$A$の零空間という（${\rm Ker}A$が部分空間になるかは各自検証）．

特に$n = m$の場合には

$$R^n = {\rm Im}A \oplus {\rm Ker}A^T = {\rm Im}A^T \oplus {\rm Ker}A$$

が成立する．すなわちベクトル空間$R^n$を，$A$に関連した２つの部分空間の直和として表すことができる．  

例　次の線形変換を考える：

$$A = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 0 2 & 4 & 0 0 & 0 & 1 \end{array}\right]$$

これに対し値域，零空間は次のように求められる：

$$\begin{eqnarray*} {\rm Im}A &=& {\rm span}\{ \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 0... ...}\{ \left[ \begin{array}{ccc} 2 & -1 & 0 \end{array}\right]^T \} \end{eqnarray*}$$

で与えられる．