正準変換

本節では，与えられたシステムが可制御，可観測であるかないかに関わらず，システムを幾つかのサブシステムに分解する正準変換についてのべる．なお，この正準変換は後に最小実現（与えられたシステムを最小次元の状態方程式により構成）で利用される．

まず，正準変換を求める前に，可制御でないシステムを可制御なサブシステムと可制御でないサブシステムに分けることを考える．  

議論　次の線形システムを考える：

$$\begin{eqnarray*} \dot{x}(t) &=& Ax(t) + Bu(t), \\ y(t) &=& Cx(t). \end{eqnarray*}$$

ただし，システム$(A,B,C)$は可制御でないとする．このとき次の定理が成り立つ．  
定理　システム$(A,B,C)$の初期状態$x_0$が可制御であるための必要十分条件は，$x_0$が可制御性行列$M_C$の値域（可制御部分空間という）にあること．すなわち

$$x_0 \in {\rm Im}M_C$$

が成り立つことである．

また，このことは，可制御な初期状態$x_0$の集合を$\chi_C$と表したとき

$$\chi_C = {\rm Im}M_C$$

になることと同値である．  

システム$(A,B,C)$は可制御でないから明らかに ${\rm rank}M_C =k < n$である． すなわち，線形空間${\rm Im}M_C$の次元は$k$であるから，$k$個の基底 $e_1,e_2,\ldots,e_k$が選べる．さらに$n-k$個の一次独立な列ベクトル $e_{k+1},\ldots,e_n$を選び， $e_1,\ldots,e_k$と一緒になって$n$次元空間の基底となっているものとする．

これから次の変換行列$T$を考える：

$$T^{-1} = \left[ \begin{array}{cc} T_1 & T_2 \end{array}\right].$$

ただし，

$$T_1 = \left[ \begin{array}{ccc} e_1 & \cdots & e_k \end{arra... ...[ \begin{array}{ccc} e_{k+1} & \cdots & e_n \end{array}\right]$$

とする．この$T$を用いて$\bar{x}=Tx$なる同値変換を行なうと，変換されたシステムは

$$\begin{eqnarray*} \dot{\bar{x}}(t) &=& TAT^{-1}\bar{x}(t) + TBu(t) \\ y(t) &=& CT^{-1}\bar{x}(t) \end{eqnarray*}$$

となる．つぎに$T$を

$$T = \left[ \begin{array}{c} U_1 U_2 \end{array}\right]$$

と区分すると（ただし$U_1$は$k \times n$,$U_2$は $(n-k) \times n$）

$$TT^{-1} = \left[ \begin{array}{c}U_1 U_2 \end{array}\righ... ...t[ \begin{array}{cc} E_k & 0 0 & E_{n-k} \end{array}\right]$$

となるから，

$$U_2T_1 = 0.$$

上式は

$$U_2 e_1 = 0, U_2 e_2 = 0,\cdots, U_2 e_k = 0$$

と同値である．

ここで$T_1$は$k$個の列ベクトル $e_1,\ldots,e_k$から成り，これらによって可制御部分空間が張られる．したがって可制御部分空間内の任意のベクトル$x$は

$$x = a_1e_1 + a_2e_2 + \cdots + a_ke_k$$

なる適当なスカラー $a_1,a_2,\ldots,a_k$により線形結合として表され，

また， $T^{-1} = \left[ \begin{array}{cc}T_1 & T_2\end{array}\right]$と $T = \left[ \begin{array}{c}U_1 U_2 \end{array}\right]$により

$$\begin{eqnarray*} \bar{A} &=& TAT^{-1} = \left[ \begin{array}{c}U_1 U_2 \end{... ...right]B = \left[ \begin{array}{c}U_1B U_2B\end{array}\right] \end{eqnarray*}$$

となる．

$T_1$の列はすべて可制御部分空間内にある．したがって$AT_1$のすべての列も可制御部分空間内にある．したがって$U_2x=0$から

$$U_2 AT_1 = 0.$$

さらに，$B$は可制御性行列を構成する行列なので$B$の列はすべて可制御性部分空間内にある（これに対する詳しい説明は後述）．これより

$$U_2B = 0$$

以上により，変換$T$により同値変換を行なうと次のようなシステムが得られる．

$$\dot{\bar{x}}(t) = \left[ \begin{array}{cc} A_{11} & A_{12} ... ...}(t) + \left[ \begin{array}{c}B_1 0 \end{array}\right] u(t)$$

ここで$(A_{11},B_1)$が可制御対であることは次のようにして示される．

$T$による同値変換であるから，明らかに

$$\begin{eqnarray*} k &=& {\rm rank}M_C \\ &=& {\rm rank}\bar{M}_C \\ &=& {\rm r... ...B_1 & A_{11}^2B_1 & \cdots & A_{11}^{n-1}B_1 \end{array}\right]. \end{eqnarray*}$$

ここで$A_{11}$は$k \times k$定数行列，$B_1$は$k \times m$定数行列であるから $(A_{11},B_1)$は可制御対である．

以上の議論により可制御でないシステムを可制御部分と可制御でない部分に分解することができる

次に，前述の説明で$B$の列がすべて可制御性部分空間内に入ることを述べたが，具体的には次のようにすればよい：$B$を列ベクトル成分 $b_1,b_2,\ldots,b_m$に分ける．すなわち

$$B = \left[\begin{array}{cccc}b_1 & b_2 & \cdots & b_m \end{array}\right]$$

このとき可制御性行列$M_C$は

$$\begin{eqnarray*} M_C &=& \left[ \begin{array}{cccc}B & AB & \cdots & A^{n-1}B \... ...m \end{array}\right] & AB & \cdots & A^{n-1}B \end{array}\right] \end{eqnarray*}$$

であるから，例えば$M_C$に右から次のベクトルをかけると$b_1$が得られ，$b_1$が可制御性部分空間内にあることが示される．

$$\left[ \begin{array}{cccc} 1 & 0 & \cdots & 0 \end{array}\right]^T$$

以下ではさらなる応用として正準分解を取り上げる．

定理　（カルマンの正準分解形）システム

$$\dot{x}(t) = Ax(t) + Bu(t), \quad y(t) = Cx(t)$$

は，適当は同値変換 $\bar{x}(t) = Tx(t)$によりシステム

$$\dot{\bar{x}}(t) = F \bar{x}(t) + Gu(t), \quad y(t) = H\bar{x}(t)$$

に変換できる．ただし

$$\begin{eqnarray*} F &=& \left[ \begin{array}{cccc} F^{aa} & F^{ab} & F^{ac} & F^... ...& \left[ \begin{array}{cccc}0 & H^b & 0 & H^d \end{array}\right] \end{eqnarray*}$$

であり，

$$\left(\left[ \begin{array}{cc} F^{aa} & F^{ab} \\ 0 & F^{bb... ..., \left[ \begin{array}{c} G^a G^b \end{array}\right]\right)$$

は可制御対，

$$\left(\left[ \begin{array}{cc} F^{bb} & F^{bd} \\ 0 & F^{dd... ...],\left[ \begin{array}{cc} H^b & H^d \end{array}\right]\right)$$

は可観測対である．  

上記の定理の意味するところは，任意に与えられたシステムを４つのサブシステム $S_a,S_b,S_c,S_d$に分解することができ，これら４つのサブシステムはそれぞれ$S_a$は可制御不可観測，$S_b$は可制御可観測，$S_c$は不可制御不可観測，$S_d$は不可制御可観測なサブシステムである（図3.9参照）．

定理の証明を行なう前に次の4つの補題を示す.  

補題１　 $\chi_C = {\rm Im}M_C$を可制御部分空間とし， $\chi_{\bar{O}} = {\rm Ker}M_O$とする．なお，この$chi_{\bar{O}}$は$Ker$の定義から明らかなように，状態$0$と区別がつかない状態$x$の集合であり，これを不可観測部分空間と呼ぶ．このとき $\chi_C,\chi_{\bar{O}}$は$A$についての不変部分空間になっている．すなわち $A\chi_C \subset \chi_C, A\chi_{\bar{O}} \subset \chi_{\bar{O}}$が成り立つ．  

補題２　可制御部分空間$\chi_C$および不可観測部分空間 $chi_{\bar{O}}$より４つの部分空間 $\chi^a, \chi^b, \chi^c, \chi^d$を次のように構成する

$$\chi^a = \chi_C \cap \chi_{\bar{O}},$$ (10.42)

$$\chi_C = \chi^a \oplus \chi^b,$$ (10.43)

$$\chi_{\bar{O}} = \chi^a \oplus \chi^c,$$ (10.44)

$$R^n = \chi^a \oplus \chi^b \oplus \chi^c \oplus \chi^d.$$ (10.45)

これらに対し次式が成り立つ：

$$\begin{eqnarray*} A \chi^a \subset \chi^a, && \\ A \chi^b \subset \chi_C &=& \c... ...subset R^n &=& \chi^a \oplus \chi^b \oplus \chi^c \oplus \chi^d. \end{eqnarray*}$$

 

補題３　部分空間$\chi^a$から任意に選んだ一つの基底を $\{\xi_1, \ldots, \xi_{\mu_a}\}$とし，これらを並べて得られる行列を$\Xi^a$とする．他の部分空間に対しても同様に $\Xi^b,\Xi^c, \Xi^d$を定める．すなわち

$$\begin{eqnarray*} \Xi^a &:=& \left[ \begin{array}{ccc}\xi_1 & \ldots & \xi_{\mu_... ..._c+1} & \ldots & \xi_{\mu_a+\mu_b+\mu_c+\mu_d}\end{array}\right] \end{eqnarray*}$$

とする．このとき $\Xi^a,\Xi^b,\Xi^c,\Xi^d$は次式を満たす．

$$\begin{eqnarray*} A \Xi^a &=& \Xi^a F^{aa}, \\ A \Xi^b &=& \Xi^a F^{ab}+\Xi^b F... ... A \Xi^d &=& \Xi^a F^{ad}+\Xi^b F^{bd}+\Xi^c F^{cd}+\Xi^d F^{dd} \end{eqnarray*}$$

ただし， $F^{aa},\ldots, F^{dd}$は適当な係数行列である．  

補題４　次式が成立する．

$$B=\Xi^a G^a + \Xi^b G^b, \quad C \Xi^a = 0, \quad C \Xi^c = 0.$$

 

証明は一時的に省略する．

例3.10　システム

$$\dot{x} = \left[ \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 1 \\ 0... ...y}\right]x + \left[ \begin{array}{c} -1 1 0 -1 \end{array}\right] u$$ (10.46)

$$y = \left[ \begin{array}{cccc}1 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right]x$$ (10.47)

の正準分解形をもとめる．

$$A^2 = \left[ \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & -... ... & 3 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 2 & 0 & -3 & -1 \end{array}\right]$$

であるから，可制御性行列$M_C$および可観測性行列$M_O$はそれぞれ

$$M_C = \left[ \begin{array}{cccc} -1 & -1 & -1 & -1 \\ 1 & -... ...& 0 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]^T$$

となる．ここで$M_O$を転置行列で表す理由は，この問題ではこれにより${\rm Ker}M_O$が 単純に見つかるからであり，他の問題で同様の記法を用いる必要はない．

上の$M_C,M_O$から， ${\rm Im}M_C,{\rm Ker}M_O$の基底がそれぞれ次のように求められる．

${\rm Im}M_C$の基底：

$$\left[ \begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]^T... ...d \left[ \begin{array}{cccc}0 & 1 & 0 & 0 \end{array}\right]^T$$

${\rm Ker}M_O$の基底：

$$\left[ \begin{array}{cccc}0 & 1 & 0 & 0 \end{array}\right]^T... ... \left[ \begin{array}{cccc}0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]^T.$$

したがって可制御部分空間$\chi_C$と不可観測部分空間 $chi_{\bar{O}}$はそれぞれ

$$\chi_C = {\rm span}\left\{ \left[ \begin{array}{c} 1 0 \... ... \begin{array}{c} 0 0 0 1 \end{array}\right] \right\}$$

となる．(10.42)から(10.45)式により $\chi^a, \chi^b, \chi^c, \chi^d$を求めると

$$\chi^a = {\rm span}\left\{ \left[ \begin{array}{cccc}0 & 1 & 0 & 0 \end{array}\right]^T \right\}$$ (10.48)

$$\chi^b = {\rm span}\left\{ \left[ \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]^T \right\}$$ (10.49)

$$\chi^c = {\rm span}\left\{ \left[ \begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]^T \right\}$$ (10.50)

$$\chi^d = {\rm span}\left\{ \left[ \begin{array}{cccc} 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right]^T \right\}$$ (10.51)

となる．よって変換行列$T$は

$$T^{-1} = \left[ \begin{array}{cccc} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \end{array}\right]$$

と求められる．よってこれを用いて変換を行なうと

$$\begin{eqnarray*} F &=& TAT^{-1} = \left[ \begin{array}{cccc} -1 & 1 & 1 & 0 ... ...-1} = \left[ \begin{array}{cccc}0 & 1 & 0 & 1 \end{array}\right] \end{eqnarray*}$$

となり，正準分解形は

$$\dot{\bar{x}} = \left[ \begin{array}{cccc}-1 & 1 & 1 & 0 ... ...t[ \begin{array}{cccc}0 & 1 & 0 & 1 \end{array}\right] \bar{x}$$

で与えられる．