線形システムに対するリアプノフの安定定理

対象とするシステムを線形システムに限った場合には，リアプノフの安定性理論から次の結果が得られる．

 

定理5.6（線形システムに対するリアプノフの安定定理）システム(5.1)：

$$\dot{x} = Ax + Bu, \quad y = Cx$$

の原点が漸近安定であるための必要十分条件は，にんいに与えられた正定行列$Q$（ $\forall x\neq 0 \text{ s.t. } x^TQx > 0$）に対して

$$A^TP+PA=-Q$$ (18.1)

となるような正定行列$P$がただ１つ存在することである．

 

証明　十分性を示す．(18.1)を満たす$P$が唯一存在すると仮定する． このとき

$$V(x)=x^TPx$$

ととれば$V(x)$は正定で，かつ

$$\dot{V}(x)=\dot{x}^TPx + x^TP\dot{x} = x^T(A^TP + PA)x=-x^TQx \leq 0$$

であるから$V(x)$はリアプノフ関数であり，明らかに$\dot{V}(x)$は負定関数であるから定理5.5より原点は漸近安定である．

必要性を示す．システムの漸近安定性より入力$u \equiv 0$におけるシステムの解 $x(t) = e^Atx(0)$は時間と共に$0$に収束する．したがって，任意に与えられた正定行列$Q$に対して

$$\bar{P} = \int_0^\infty \left(e^{At}\right)^TQe^{At}dt$$ (18.2)

により有限な正定行列$\bar{P}$が定義できる．また

であるから$\bar{P}$が(18.1)式の１つの解である．さらに(18.1)式を満足する任意の解$P$に対して，(18.2)式より

$$\begin{eqnarray*} \bar{P} &=& -\int_0^\infty \left(e^{At}\right)^T(A^TP+PA)e^{At... ...nfty \frac{d}{dt}\left( \left(e^{At}\right)^TPe^{At}\right)dt =P \end{eqnarray*}$$

となるので，$\bar{P}$が(18.1)式のただ１つの解であることが示された．

 

この定理において重要な点は，線形システムについては，リアプノフ関数を(18.1)式により求めることができるということである．

 

例5.7　システム

$$\dot{x} = \left[ \begin{array}{cc} -1 & 0 1 & -2 \end{array}\right] x + \left[ \begin{array}{c}1 0\end{array}\right]u$$

の安定性をリアプノフの安定条件を用いて判別する．正定行列$Q$として$Q=I_2$を取り

$$P = \left[\begin{array}{cc}p_{11} & p_{12} p_{21} & p_{22} \end{array}\right]$$

とおくと，(18.1)式より

$$\left\{ \begin{array}{l} -2p_{11}+p_{21}+p_{12} = -1 \\ -3p... ...= 0 \\ -3p_{21}+p_{22} = 0 \\ -4p_{22}=-1 \end{array}\right.$$

が得られ，$p_{11}=7/12$， $p_{12}=p_{21}=3/12$，$p_{22}=1/12$となる．これより

$$P=\frac{1}{12}\left[ \begin{array}{cc} 7 & 1 1 & 3 \end{array}\right]$$

となる．さらに任意の $x = [ x_1\; x_2]^T$に対し

$$x^TPx = 7x_1^2 + 2x_1x_2 + 3x_2^2 = 7(x_1^2 + 2/7x_1x_2) + 3x_2^2 = 7(x_1+1/7x_2)^2+20/7x_2^2$$

より，$P$は正定行列である．よってシステムは漸近安定である．