可観測正準形（１出力）

１入力システムの可制御正準形と同様、可観測な１出力システムの可観測正準形については、システムの可観測性行列$M_O$の正則性を用いる。したがって変換行列として$T=M_O$を直接利用する方法も考えられるが、教科書では変換行列として$T=T_1M_O$を利用している。この変換行列$T$について以下の定理が成り立つ。なお、証明については可制御正準形と同様であるので、各自で試みること。  

定理（1入力1出力システムの可観測正準形）可観測な1入力1出力システム

$$\begin{eqnarray*} \dot{x}(t) &=& Ax(t) + b u(t) \\ y(t) &=& cx(t) \end{eqnarray*}$$

は，次のシステムに同値である．

$$\dot{\bar{x}}(t) = \left[ \begin{array}{ccccc} 0 & 0 & \cdots & 0 & -\alpha_0 \\ 1 ... ...rray}{c} \beta_0 \beta_1 \vdots \beta_{n-1} \end{array}\right] u(t)$$ (8.25)

$$y(t) = \left[ \begin{array}{ccccc} 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \end{array}\right] \bar{x}(t)$$ (8.26)

ただし， $\alpha_0,\alpha_1,\cdots,\alpha_{n-1}$は，$A$の特性多項式の係数であり， $\beta_0,\beta_1,\cdots, \beta_{n-1}$は適当な実数である．  

h本小節の前書きにも書いたが、具体的にシステムの状態方程式が与えられたとき，可観測正準形(25.10),(25.11)に変換するための変換行列を$T$とすると，$T$は一般的に次の方法で求められる．  

方法

$$T = T_1 M_O$$ (8.27)

$$MO = \left[ \begin{array}{c} c cA \vdots cA^{n-1} \end{array}\right]$$ (8.28)

$$T_1 = \left[ \begin{array}{ccccc} \alpha_1 & \alpha_2 & \cdots & \alpha... ...alpha_{n-1} & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \end{array} \right]$$ (8.29)

 

さらに次の定理が成り立つ．  

定理　与えられたシステムに対する可観測正準系

$$\begin{eqnarray*} \dot{x}(t) &=& Ax(t) + b u(t) \\ y(t) &=& cx(t) \end{eqnarray*}$$

と可観測正準形

$$\begin{eqnarray*} \dot{\bar{x}}(t) &=& \bar{A}\bar{x}(t) + \bar{b}u(t) \\ y(t) &=& \bar{c}x(t) \end{eqnarray*}$$

の間には次の関係がある．

$$\bar{A} = A^T, \quad \bar{b} = c^T, \quad \bar{c} = b^T$$ (8.30)