可制御正準形（１入力）

ここまでは、与えられたシステムを正則行列により同値変換しても、システムの基本的な性質は変化しないことを示した。しかしながら単純に正則行列といっても無数に存在することからどのような正則行列が意味を持つのかを調べる必要がある。以下ではこれについて１入力システムを例にして説明する。

本小節では与えられたシステムに対し，同値変換をすることでシステムを可制御正準形，可観測正準形と呼ばれるある種の標準的なシステム表現に変換する．なお，可制御正準系はシステムの極の設定や最適制御を求める際に用いられる．また，可観測正準形は状態オブザーバやカルマンフィルタなどの構成に用いられる．

以下ではシステム

$$\dot{x} = Ax + bu,$$ (8.7)

$$y = Cx$$ (8.8)

は可制御な$n$次の１入力システムであるとする。

システム(8.7),(8.8)は可制御であるから、可制御性行列 $M_C = \left[ \begin{array}{cccc}b & Ab & \cdots & A^{n-1}b \end{array}\right]$は$n$次の正則行列であるから、これを使った変換行列としては $T = M_C,T = M_C^{-1}$の２種類が候補となる。それぞれについて調べてみる。

• $T=M_C$を変換行列とした場合：
  

  $$\bar{A} = TAT^{-1}= M_C A M_C^{-1}, \quad \bar{b} = Tb = M_C b, \quad \bar{C}=CT^{-1} = C M_C^{-1}$$ (8.9)

  
  
  である。
• $T=M_C^{-1}$を変換行列とした場合：
  

  $$\tilde{A} = TAT^{-1} = M_C^{-1}AM_C, \quad \tilde{b} = Tb = M_C^{-1}b, \quad \tilde{C}=CT^{-1} = C M_C$$ (8.10)

  
  
  である。

ここで興味深いのは(8.10)の方である。なぜなら(8.10)の$\tilde{b}$について

$$\begin{eqnarray*} T^{-1} \tilde{b} &=& b \\ M_C \tilde{b} &=& b \\ \left[ \begin{array}{cccc} b & Ab & \cdots & A^{n-1}b \end{array}\right] &=& b \end{eqnarray*}$$

より

$$\tilde{b} = \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{array}\right] = e_1$$ (8.11)

となるからである。したがって、以下では$T=M_C^{-1}$を使って同値変換を行う。

(8.10)式より $\tilde{A} = M_C^{-1}AM_C$なので

$${M_C \tilde{A}}$$

$$= A M_C = \left[ \begin{array}{cccc} Ab & A^2b & \cdots & A^nb \end{array}\right]$$

$$= \left[ \begin{array}{cccc} M_C e_2 & M_C e_3 & \cdots & (-\alpha_... ...^{n-1}-\alpha_{n-2}A^{n-2}-\cdots -\alpha_1 A -\alpha_0 I)b \end{array} \right]$$

$$= \left[ \begin{array}{cccc} M_C e_2 & M_C e_3 & \cdots & -\alpha_{... ...{n-2}M_C e_{n-1} -\cdots -\alpha_1 M_C e_2 -\alpha_0 M_C e_1 \end{array}\right]$$

$$= M_C \left[ \begin{array}{ccccc} e_2 & e_3 & \cdots & e_n & -\sum_{k=1}^n \alpha_{k-1}e_k \end{array} \right]$$ (8.12)

となり、(8.12)の左から$M_C^{-1}$を掛ければ

$$\tilde{A} = \left[ \begin{array}{ccccc} e_2 & e_3 & \cdots & e_n & -\sum_{k=1}^n \alpha_{k-1}e_k \end{array} \right]$$

$$= \left[ \begin{array}{ccccc} 0 & \cdots & \cdots & 0 & -\alpha_0 \... ...& \ddots & 0 & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & 1 & -\alpha_{n-1} \end{array}\right]$$ (8.13)

を得る。

後述するように、教科書では$\tilde{A}$ではなく、$\tilde{A}^T$を係数行列に採用している。このことは特に重要ではないのだが、教科書と同様の表記にするためには、変換行列として$M_C^{-1}$ではなく

$$T = (M_C T_1)^{-1}$$ (8.14)

とすればよい。 ただし$T_1$は

$$T_1 = \left[ \begin{array}{ccccc} \alpha_1 & \alpha_2 & \cdo... ...& \cdots & 0 & 0 \\ 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \end{array}\right]$$ (8.15)

である。

明らかに$T_1$は正則行列であるから$T$は正則である。

以下、上記変換行列 $T=(M_C T_1)^{-1}$を利用することにより次の定理が得られる。  

定理　（１入力１出力システムの可制御正準形）　可制御な１入力１出力システム

$$\begin{eqnarray*} \dot{x}(t) &=& Ax(t) + b u(t) \\ y(t) &=& cx(t) \end{eqnarray*}$$

は，次のシステムに同値である．

$$\dot{\bar{x}}(t) = \left[ \begin{array}{ccccc} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 ... ...+ \left[ \begin{array}{c} 0 0 \vdots 0 1 \end{array}\right]u(t)$$ (8.16)

$$y(t) = \left[\begin{array}{cccc} \gamma_0 & \gamma_1 & \cdots & \gamma_{n-1} \end{array} \right] \bar{x}(t)$$ (8.17)

ただし， $\alpha_0,\alpha_1,\cdots,\alpha_{n-1}$は$A$の特性多項式

$$\det[sI-A] = s^n + \alpha_{n-1}s^{n-1} + \alpha_{n-2}s^{n-2} + \cdots + \alpha_0$$ (8.18)

の係数であり， $\gamma_0,\gamma_1,\cdots,\gamma_{n-1}$は適当な実数である．  

（証明） $T=(M_C T_1)^{-1}$より

$$T^{-1} = \left[ \begin{array}{cccc}b & Ab & \cdots & A^{n-1}b \end{array}\... ...\alpha_{n-1} & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \end{array}\right]$$

$$= \left[ \begin{array}{cccc} \sum_{k=1}^{n-1} \alpha_k A^{k-1}b + A... ...& \sum_{k=2}^{n-1} \alpha_k A^{k-2}b + A^{n-2}b & \cdots & b \end{array}\right]$$ (8.19)

さらに $T^{-1} = \left[ \begin{array}{ccc} t_1 & \cdots & t_n \end{array}\right]$とおけば(25.4)より

$$\begin{eqnarray*} t_1 &=& (A^{n-1} + \alpha_{n-1}A^{n-2} + \cdots + \alpha_1 I)b... ... & \vdots & \\ t_{n-1} &=& (A + \alpha_{n-1}I)b \\ t_n &=& Ib \end{eqnarray*}$$

これにCayley-Hamiltonの定理を適用すれば

$$\begin{eqnarray*} At_1 &=& (A^{n} + \alpha_{n-1}A^{n-1} + \cdots + \alpha_1 A)b ... ...-2}-\alpha_{n-2}t_n \\ At_n &=& Ab = t_{n-1} - \alpha_{n-1} t_n \end{eqnarray*}$$

となり

$$AT^{-1} = \left[ \begin{array}{cccc} -\alpha_0 t_n & t_1-\alpha_1t_n & \cdots & t_{n-1} - \alpha_{n-1} t_n \end{array}\right]$$

$$= \left[ \begin{array}{cccc} 0 & t_1 & \cdots & t_{n-1} \end{array}... ...ay}{cccc} -\alpha_0 & -\alpha_1 & \cdots & -\alpha_{n-1} \end{array}\right] t_n$$

$$= \left[ \begin{array}{cccc} t_1 & t_2 & \cdots & t_n \end{array}\r... ... -\alpha_0 & -\alpha_1 & -\alpha_2 & \cdots & -\alpha_{n-1} \end{array}\right]$$

$$= T^{-1} \bar{A}$$ (8.20)

よって

$$\bar{A} = TAT^{-1}$$ (8.21)

となる。$\bar{b} = Tb$についても同様に

$$T^{-1}\bar{b} = T^{-1}\left[\begin{array}{c}0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \end{array}\right] = t_n = b$$ (8.22)

より明らか。（証明終）  

例3.6　次のシステムを考える：

$$\dot{x}(t) = \left[ \begin{array}{cc}-1 & 0 0 & -2 \end{array}\right] x(t) + \left[ \begin{array}{c}1 1 \end{array}\right] u(t)$$ (8.23)

$$y(t) = \left[ \begin{array}{cc}1 & 0 \end{array}\right] x(t)$$ (8.24)

このシステムの可制御性行列$M_c$は

$$M_c = \left[ \begin{array}{cc} 1 & -1 1 & -2 \end{array} \right]$$

より， ${\rm rank}M_c = 2$となり可制御であるから，可制御正準形に変換可能である． このことから$x(t)$の係数行列の特性多項式を求めると

$$\det[sI-A] = \det \left[ \begin{array}{cc}s+1 & 0 0 & s+2 \end{array}\right] = s^2 + 3s + 2$$

となる．したがって，変換行列$T$は

$$\begin{eqnarray*} T &=& ( M_c T_1)^{-1} \\ & = & \left( \left[ \begin{array}{cc... ... &=& \left[ \begin{array}{cc}1 & -1 -1 & 2 \end{array}\right] \end{eqnarray*}$$

となる．

したがって，このシステムの可制御正準形は

$$\begin{eqnarray*} \dot{\bar{x}}(t) &=& TAT^{-1}\bar{x}(t) + Tbu(t) \\ &=& \left... ... &=& \left[\begin{array}{cc}2 & 1 \end{array}\right] \bar{x}(t) \end{eqnarray*}$$

また，例2.7で示したように，このシステムの伝達関数は

$$G(s) = \frac{s+2}{s^2 + 3s + 2} = \frac{1}{s+1}$$

となる．ここで共通因子$(s+2)$が存在するのは，システムが可観測でないためである．