最小次元状態オブザーバ

推定したい状態変数は$n$次元であり，利用可能な出力が$r$次元であるから， 一般に状態オブザーバの次元数は$(n-r)$以上でなければその機能を発揮できない． このことから$(n-r)$次元状態オブザーバを最小次元状態オブザーバと呼ぶ． 本節ではこの最小次元状態オブザーバの一つの構成法を与える．

$(n-r)\times n$行列$D$を適当に選び，$n\times n$行列

$$T = \left[ \begin{array}{c}C D \end{array}\right]$$ (25.1)

が正則となるようにする．この$T$を用いて

$$\bar{x} = Tx$$

なる変換を行なえば

$$\dot{\bar{x}} = \bar{A}\bar{x} +\bar{B}u$$ (25.2)

$$y = \bar{C}\bar{x}$$ (25.3)

となる．ただし $\bar{A}=TAT^{-1}, \bar{B} = TB, \bar{C} = CT^{-1}$である． また(25.1)式より

$$\left[ \begin{array}{cc} I_r & 0 \end{array}\right] T = \le... ...}\right] \left[ \begin{array}{c} C D \end{array}\right] = C$$

であるから

$$\bar{C} = \left[ \begin{array}{cc}I_r & 0\end{array}\right]$$ (25.4)

であることが示せる．

$T$が$C$と$D$に分かれていることに応じて，次のように $\bar{x},\bar{A},\bar{B}$を分割する．

$$\bar{x} = \left[ \begin{array}{c}\bar{x}_1 \bar{x}_2 \end... ...eft[ \begin{array}{c}\bar{B}_1 \bar{B}_2 \end{array}\right]$$ (25.5)

すると $y=Cx = \bar{x}_1$であることから(25.2)式は

$$\dot{\bar{x}}_2 = \bar{A}_{22}\bar{x}_2 + \bar{A}_{21}y + \bar{B}_2u$$ (25.6)

$$\dot{y} - \bar{A}_{11}y - \bar{B}_1u = \bar{A}_{12}\bar{x}_2$$ (25.7)

と書き換えられる．いま仮に$\bar{x}_2$を状態変数とするシステムを考え， (25.6)式が状態方程式，(25.7)が出力方程式であると見なす．すなわち

$$\begin{array}{l} \dot{\bar{x}}_2 = \bar{A}_{22}\bar{x}_2 + \... ...grightarrow \begin{array}{l} \dot{X}=AX+BU \\ Y=CX \end{array}$$

ただし $\bar{x}_2=X, \bar{A}_{22}\bar{x}_2+\bar{A}_{21}y=AX, \bar{B}_2=B, \dot{y}-\bar{A}_{11}y-\bar{B}_1y=Y,\bar{A}_{12}\bar{x}_2=CX$である． すると，$\bar{x}_2$に対する同一次元状態オブザーバは，(8.13)式より

$$\dot{\tilde{z}} = \bar{A}_{22}\tilde{z}+\bar{A}_{21}y+\bar{B}_2u +G[(\dot{y}-\bar{A}_{11}y-\bar{B}_1u)-\bar{A}_{12}\tilde{z}]$$ (25.8)

$$\bar{w}_2 = \tilde{z}$$ (25.9)

となる．ここで(25.8)式の右辺に存在する$\dot{y}$の項を消去するために

$$z = \tilde{z} - Gy$$

の変数変換を行なえば，(25.8)式は

$$\dot{\tilde{z}} = [ \bar{A}_{22}-G\bar{A}_{12}]z + [\bar{A}_{22}G + \bar{A}_{21} - G(\bar{A}_{12}G + \bar{A}_{11})]y + [\bar{B}_2 - G\bar{B}_1]u$$ (25.10)

となる．また(25.9)式の$\bar{w}_2$は， $\bar{w}_2=\tilde{z}=z+Gy$と表されるから，$x$の推定値$w$は

$$w = \left[ \begin{array}{c}x_1 w_2 \end{array}\right] = T... ...}\left[ \begin{array}{c}y z+Gy \end{array}\right] (= Wz+Vy)$$ (25.11)

によって与えられる.ただし

$$W=T^{-1}\left[ \begin{array}{c} 0 I_{n-r} \end{array}\rig... ...d V= T^{-1}\left[ \begin{array}{c} I_r G \end{array}\right]$$ (25.12)

である．よって，$x$に対する$(n-r)$次元状態オブザーバは，(25.10),(25.11)式で与えられる.

なお，対$(A,C)$が可観測ならば，対 $(\bar{A}_{22},\bar{A}_{12})$も可観測であることが示せるので，適当な$G$を選ぶことによって，オブザーバの極，すなわち $[\bar{A}_{22}-G\bar{A}_{12}]$の固有値を任意に設定できる．

以上の結果より，次の手順によって，一つの最小次元オブザーバ(25.10),(25.11)が得られる．

1. $T=\left[ \begin{array}{cc}C & D\end{array}\right]^{T}$が正則となる$D$の 決定
2. $${\bar{A} = TAT^{-1} = \left[ \begin{array}{cc} \bar{A}_{11} & \bar{A}_{12} \bar{A}_{21} & \bar{A}_{22} \end{array}\right]}$$ による $\bar{A}_{11},\bar{A}_{12},\bar{A}_{21},\bar{A}_{22}$の算出
3. $[\bar{A}_{22}-G\bar{A}_{12}]$の固有値が，目標通りになる$G$の決定
4. (25.12)式による$V,W$の計算と，(25.10)の係数行列の計算

例7.2　例7.1のシステム$(A,B,C)$に対して，最小次元状態オブザーバを，その極が$\{-2\}$となるように設計する．

システムは

$$\dot{x} = \left[ \begin{array}{cc}1 & 1 0 & 1 \end{array}... ...]u,\quad y = \left[ \begin{array}{cc}1 & 1\end{array}\right] x$$

より，

$$T = \left[ \begin{array}{c}C D \end{array}\right] = \left[ \begin{array}{cc} 1 & 1 0 & 1 \end{array}\right]$$

ととると，

$$T^{-1} = \left[ \begin{array}{cc} 1 & -1 0 & 1 \end{array}\right]$$

より， $\bar{A} = A, \bar{B}=\left[ \begin{array}{cc}1 & 1 \end{array}\right]^T$となる． これより $[\bar{A}_{22}-G\bar{A}_{12}]=1-G=-2$を満たす$G$として$G=3$が得られる． よって，オブザーバは次式のようになる．

$$\begin{eqnarray*} \dot{z} &=& -2z-9y-2u \\ w &=& \left[ \begin{array}{c}-1 1... ...}\right]z + \left[ \begin{array}{c}-2 3 \end{array}\right] y \end{eqnarray*}$$

なお，最小次元状態オブザーバ(25.10),(25.11)は， $U=[-GI_{n-r}]T$ととるとき，$F=UAW,G=UAV$と表せることと，(25.12)を用いれば，定理7.1を満たすことが確かめられる．

演習問題7.2　システム$(A,B,C)$を考える．ただし

$$A = \left[ \begin{array}{cccc}0 & 0 & 0 & 1 1 & 0 & 0 & 0... ...{array}{cccc}1 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 1 & 0 \end{array}\right]$$

とする．このシステムに対して最小次元状態オブザーバを，その極が$\{-1,-1\}$となるように設計せよ．

（解答例)

$$T = \left[ \begin{array}{c}C D \end{array}\right] = \left... ... & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]$$

とすると ${\rm rank}T = 4$より$T$は正則となる．これより$T^{-1}$を求めると

$$\begin{eqnarray*} \left[ \begin{array}{cccc\vert cccc}1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 ... ... 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right] \end{eqnarray*}$$

であるから

$$T^{-1} = \left[ \begin{array}{cccc} 1 & -1 & 1 & 0 0 & 1 & -1 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]$$

となる．次に $\bar{A},\bar{B}$を求めると

$$\begin{eqnarray*} \bar{A} = TAT^{-1} &=& \left[ \begin{array}{cc\vert cc}1 & -1... ...eft[ \begin{array}{c} 0 0 \hline 0 1 \end{array}\right] \end{eqnarray*}$$

となる． $G = \left[ \begin{array}{cc}g_{11} & g_{12} g_{21} & g_{22} \end{array}\right]$と置き， $[\bar{A}_{22}-G\bar{A}_{12}]$の固有値が$\{-1,-1\}$となるように設定する:

$$\bar{A}_{22}-G\bar{A}_{12} = \left[ \begin{array}{cc} -1-g_{11} & -g_{11} \\ -g_{21} & -g_{21} \end{array}\right]$$

であるから

$$\det[sI-(\bar{A}_{22}-G\bar{A}_{12})] = \det \left[ \begin{a... ...g_{21} \end{array}\right] = s^2 + (1+g_{11}+g_{21})s + g_{21}.$$

したがって， $1+g_{11}+g_{21}=2, g_{21}=1$となり，結局 $g_{11}=0,g_{21}=1$である． よって，題意を満たす$G$の一つとして

$$G = \left[ \begin{array}{cc}0 & 0 1 & 0 \end{array}\right]$$

が選べる．

以上により，最小次元オブザーバの状態方程式は

$$\begin{eqnarray*} \dot{\tilde{z}} &=& [ \bar{A}_{22}-G\bar{A}_{12}]z + [\bar{A}... ...ray}\right]y + \left[ \begin{array}{c}0 1\end{array}\right]u \end{eqnarray*}$$

となり，出力方程式は

$$\begin{eqnarray*} w = Wz+Vy &=& T^{-1}\left[ \begin{array}{c} 0 I_{n-r} \end... ...{array}{cc}1 & -1 0 & 1 0 & 0 1 & 0 \end{array}\right]u \end{eqnarray*}$$

となる．