実現問題

前節においてシステムの状態方程式表現が与えられたとき，その伝達関数（行列）表現は一意に与えられることを示した．本節ではその逆の問題，すなわち伝達関数（行列）表現が与えられた場合に，その状態方程式表現を求める問題を考える． この問題は，状態方程式表現が求められれば，積分器を用いた電気系などにより，ハードウェア回路として実現できるという意味で，実現問題と呼ばれる．

行列$G(s)$の各要素が$s$の有理関数であるとき（すなわち，分母および分子が$s$の多項式であるような分数の形をしているとき），$G(s)$を有理行列といい，さらに各要素が

$$g_{ij}(s) = \frac{p_{ij}(s)}{q_{ij}(s)} =\frac{\gamma_{k-1}... ...0}{s^k + \alpha_{k-1}s^{k-1} + \cdots + \alpha_1s + \alpha_0}$$ (12.1)

のように（分母の次数）＞（分子の次数）であるとき有理行列$G(s)$は，厳密にプロパーであるという（ $\lim_{s\to \infty}G(s) = 0$と定義しても良い）．

 

定理4.3　有理行列が実現可能であるための必要十分条件は，それが厳密にプロパーなことである．

 

（証明）まず必要性，すなわち有理行列が実現可能ならば厳密にプロパーであることを証明する．

$G(s)$は実現可能であるから，$G(s)$の任意の実現をシステム$(A,B,C)$とし，その次元を$n$とする．前節の定理より明らかに

$$G(s) = C(sI_n - A)^{-1}B = \frac{C {\rm adj}(sI_n-A)B}{\det(sI_n-A)}$$

である． ${\rm adj}(sI_n-A)$は$sI_n-A$の余因子行列であるから，明らかに$s$に関して$(n-1)$次以下になる．また$\det(sI_n-A)$は$s$に関して$n$次になる．以上により$G(s)$は厳密にプロパーである．

次に十分性を示す．ここで前節で示したように，$G(s)$はシステムを正準分解した可制御可観測なサブシステムを用いて

$$G(s) = H^b (sI-F^{bb})^{-1}G^b$$

で表されることに注意する．

$G(s)$が厳密にプロパーであれば，$G(s)$の一つの実現が存在することを示せばよい．$G(s)$の第$(i,j)$要素$g_{ij}(s)$が(12.1)式で与えられるとすると，教科書図4.1より$g_{ij}(s)$は入力$u_j$，出力$y_{ij}$の1入力1出力システムの伝達関数と考えられる．したがって，$g_{ij}(s)$は定理3.4と教科書(3.49)式により

$$\begin{eqnarray*} A_{ij} &=& \left[ \begin{array}{cccccc} 0 & 1 & 0 & \cdots & \... ...a_1 & \cdots & \cdots & \cdots & \gamma_{k-1} \end{array}\right] \end{eqnarray*}$$

という，可制御正準形をした一つの実現を持つ．この実現は教科書図4.2で表される．したがって

$$\begin{eqnarray*} \tilde{A} &=& \left[\begin{array}{cccccccc} A_{11} & & & & & &... ... & \\ & & & & & & &c_{r1} & \cdots & c_{rm} \end{array}\right] \end{eqnarray*}$$

とおけば，システム $(\tilde{A},\tilde{B},\tilde{C})$は，$G(s)$の一つの実現である．このことはシステム $(\tilde{A},\tilde{B},\tilde{C})$の伝達関数行列 $\tilde{G}(s)=\tilde{C}(sI-\tilde{A})^{-1}\tilde{B}$の第$(i,j)$要素 $\tilde{g}_{ij}(s)$が

$$\tilde{g}_{ij}(s)=c_{ij}(sI-A_{ij})^{-1}b_{ij}=g_{ij}(s)$$

となることからも確かめられる．