状態フィードバックによる１入力システムの極配置

本節では１入力で$n$次元状態変数をもつシステム$(A,b)$，すなわち

$$\dot{x} = Ax + bu$$ (21.1)

の極配置問題を考える．

 

定理6.1　１入力システム$(A,b)$が可制御であれば，状態フィードバック

$$u = kx + v$$ (21.2)

によって任意の極は位置が可能である．ただし，$k$は状態フィードバックゲインを 表す$n$次元横ベクトルである．

 

証明　配置したい$n$個の極の集合を $\Lambda = \{ \lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n\}$とする．状態フィードバック(21.2)によって得られる 閉ループシステムは，$(A+bk,b)$であるから，行列$(A+bk)$の特性多項式が

$$(s-\lambda_1)(s-\lambda_2)\cdots(s-\lambda_n) = s^n + \beta_{n-1}s^{n-1}+ \cdots + \beta_1 s + \beta_0$$ (21.3)

に一致するような$k$が存在するならば，希望の極配置が可能ということになる．

さて対$(A,b)$が可制御であると仮定していることから，適当な正則行列$T$を用いて 次のような可制御正準形 $(\bar{A},\bar{b})$に変形できる：

$$\bar{A} = TAT^{-1} = \left[ \begin{array}{ccccc} 0 & 1 & 0 &... ...n{array}{c} 0 \vdots \vdots 0 1 \end{array}\right]$$

ここで， $\alpha_0,\alpha_1,\ldots,\alpha_{n-1}$は$A$の特性多項式

$$\det(sI-A) = s^n + \alpha_{n-1}s^{n-1} + \cdots + \alpha_1s + \alpha_0$$ (21.4)

の係数である．このとき$\bar{k}$を

$$\bar{k} = \left[ \begin{array}{cccc} \alpha_0-\beta_0 & \alp... ...\beta_1 & \ldots & \alpha_{n-1}-\beta_{n-1} \end{array}\right]$$ (21.5)

とおき，さらに$k$を

$$k = \bar{k}T$$ (21.6)

とおけば

$$\begin{eqnarray*} A + bk &=& T^{-1}(\bar{A}+\bar{b}\bar{k})T \\ \bar{A} + \bar{... ...& -\beta_1 & -\beta_2 & \cdots & -\beta_{n-1} \end{array}\right] \end{eqnarray*}$$

であるから$A+bk$の特性方程式は(21.3)式に一致する．よって，任意の極は位置が可能であることが示された．

 

詳細は次節で述べるが，定理6.1の仮定"$(A,b)$が可制御対"は任意の極配置が可能であるための必要条件となっている．

また，(21.6)式の$k$は

$$k = -\left[ \begin{array}{ccccc}0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \end{array}\right] M_C^{-1}$$

$$\times (A^n + \beta_{n-1}A^{n-1}+\beta_{n-2}A^{n-2}+\cdots +\beta_0 I)$$ (21.7)

により求めることもできる．これをAckermanのアルゴリズムという（証明略）．