可観測性

本節では，与えられたシステムに対し，適当な有限時刻$t_f(> t_0)$までの零入力によりシステムの初期状態を知ることができるか（可観測性）について考察する．

まず，可観測性の定義を述べる．  

[可観測性]　ある有限の時刻$t_f$までの零入力応答$y(t)$を観測することによって，初期状態$x(t_0)=x_0$を一意に決定できるとき，システムは可観測であるという．  

可観測性の判定条件にも可制御性と同様，いくつかの条件があるが，最も一般的なものとしては，次の可観測行列$M_o$を利用したものが挙げられる．  

定理　（可観測性の判定規範）次の状態方程式で与えられるシステムを考える．

$$\dot{x}(t) = Ax(t) + Bu(t)$$ (6.1)

$$y(t) = Cx(t)$$ (6.2)

ただし，係数行列$A,B,C$はそれぞれ $n \times n,n \times m, r \times n$の定数行列とする．

このとき，システム(20.1),(20.2)が可観測であるための必要十分条件は

$${\rm rank}M_O = n$$ (6.3)

が成り立つことである．ここで，可観測性行列$M_o$は以下の式で定義される$nr \times n$定数行列である：

$$M_O = \left[ \begin{array}{c}C CA \vdots CA^{n-1} \end{array} \right]$$ (6.4)

 

例3.4　次のシステムを考える．

$$\dot{x}(t) = \left[ \begin{array}{cc}0 & 0 0 & -1 \end{array}\right]x(t) + \left[ \begin{array}{c}1 0 \end{array}\right] u(t)$$ (6.5)

$$y = \left[ \begin{array}{cc}1 & 1 \end{array}\right]x(t)$$ (6.6)

このシステムに対する可観測性行列$M_o$は

$$M_O = \left[ \begin{array}{cc}1 & 1 0 & -1 \end{array}\right]$$

であるから

$${\rm rank}M_O = 2$$

となり，システムは可観測である．

次に，（実際にはあまり有効ではないが）このシステムのブロック線図を求め、状態と出力との関係を 視覚的に捉えてみる。このため(21.1),(21.2)式を ラプラス変換すると

$$\begin{eqnarray*} sX_1(s) &=& U(s) \\ sX_2(s) &=& X_2(s) \\ Y(s) &=& X_1(s) + X_2(s) \end{eqnarray*}$$

となり，図3.6のようにブロック線図が得られる．図3.6より，出力$y$はすべての状態$x_1,x_2$に依存している．このことはシステムが可観測であることを示している．  

例3.5　システム

$$\dot{x}(t) = \left[ \begin{array}{cc}-1 & 0 0 & -1 \end{array} \right]x(t) + \left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 0 & 1 \end{array}\right] u(t)$$ (6.7)

$$y = \left[ \begin{array}{cc}1 & 1 \end{array}\right]x(t)$$ (6.8)

を考える．このシステムの可観測性行列$M_O$は

$$M_O = \left[ \begin{array}{cc} 1 & 1 -1 & -1 \end{array} \right]$$

より，

$${\rm rank}M_O = 1$$

となり，システムは可観測でない．

上の例題と同様，このシステムのブロック線図を求める。(21.4),(21.5)を ラプラス変換すると

$$\begin{eqnarray*} sX_1(s) &=& X_1(s) + U_1(s) \\ sX_2(s) &=& X_2(s) + U_2(s) \\ Y(s) &=& X_1(s) + X_2(s) \end{eqnarray*}$$

となり，図3.7のブロック線図が得られる．図3.7では，出力$y$はすべての状態$x_1,x_2$に依存しているが，可観測性行列$M_O$によると，このシステムは可観測ではない． これは例3.3と同様，適当な状態変数を選ぶことで，出力に影響を与えない状態を作ることができることを示している．このようにブロック線図による表現では、前項の可制御性同様、可観測性の判別には十分でないことが わかる。