安定性と可観測性

前節の定理5.6では$Q$を正定ととったが，可観測性に関連するある条件を満たせば $Q$は準正定であってもよいことが知られている．本節ではこれについて説明する．

 

定理5.7　$(A,C)$を可観測対とする．このとき$A$が漸近安定行列（すなわち $\dot{x}=Ax$が漸近安定）であるための必要十分条件は

$$A^TP + PA = -C^TC$$ (19.1)

の解$P$が正定となることである．

 

証明　十分性を示す．リアプノフ関数の候補として$V(x)=x^TPx$ととる．明らかに$V$は正定であり，

$$\dot{V}(x) = \dot{x}^TPx + x^TP\dot{x} = x^T(A^TP + PA)x = -x^TC^TCx$$

より $\dot{V}(x) \leq 0$であるから$V(x)$はリアプノフ関数である．この$V(x)$が定理5.5の条件2'.を満たすこと，すなわち任意の$x(0) \neq 0$に対するシステム(17.1)の解$x(t)$が$t \geq 0$において恒等的には $\dot{V}(x(t))=0$とはならないことを示す．

背理法により証明するため任意の初期値$x(0) \neq 0$に対する$\dot{x}=Ax$の解$x(t)$が恒等的に $\dot{V}(x(t))=-x^TC^TCx = 0$を満たすものとする．すると

$$Cx(t) = Ce^{At}x(0) = 0$$

が得られ，これを$t$に関して$i$回微分すると

$$CA^ie^{At}x(0) = 0, \quad i=1,2,\ldots,n-1$$

となり，これらをまとめると

$$\left[ \begin{array}{c} C CA \vdots CA^{n-1} \end{array}\right] e^{At}x(0) = 0$$ (19.2)

となる．ところが$(A,C)$は可観測対であり，$e^{At}$は正則行列であるので

$${\rm rank}\left[ \begin{array}{c}C CA \vdots CA^{n-1}\end{array}\right] e^{At} = n$$

である．これと(19.2)式より明らかに$x(0)=0$でなければならず，矛盾する． したがって $\dot{V}(x(t)) \neq 0$となり，原点は漸近安定である．

 

必要性については省略する（各自で確認）．