状態オブザーバの定義

$m$入力$r$出力で，$n$次元状態変数をもつ線形システム

$$\dot{x} = Ax + Bu$$ (23.1)

$$y = Cx$$ (23.2)

において，$C$が

$${\rm rank}C = r$$

を満たすとする．明らかに$r=n$の場合には，$C$が正則となるので，状態$x$は

$$x = C^{-1}y$$

により直接知ることができる．しかし一般には$r < n$であり，この場合は$C^{-1}$が存在せず，ある時刻$t$における状態$x(t)$を知りたいと思えば，その時刻までの観測可能な出力$y$，および制御装置で定める入力$u$の値から$x(t)$の値を推定する必要がある． そこで，システム(8.1),(8.2)に対して，$y$と$u$を入力とする新たなシステム

$$\begin{eqnarray*} \dot{z} &=& Fz + Gy + Hu \\ w &=& Wz + Vy \end{eqnarray*}$$

を考える．$z$及び$w$は，この新たなシステムの$p$次元状態ベクトル及び$n$次元出力ベクトルである． この出力$w$が

$$\lim_{t \to \infty} \Vert x - w \Vert=0$$ (23.3)

を満足するとき，(23.3),(23.3)は，システム(23.1),(23.2)に対する$p$次元状態オブザーバであるという．このとき次の定理が導ける．

 

定理　$p$次元システム(23.3),(23.3)は，その係数行列$F,G,H,W,V$が次の条件を満たすとき，システム(23.1),(23.2)に対する状態オブザーバである．

1. 適当な$p \times n$行列$U$を選んだとき，次の3つの式を満足する．
   

   $$UA-FU =GC,$$ (23.4)

   
   
   
   

   $$H = UB,$$ (23.5)

   
   
   
   

   $$VC+WU = I_n.$$ (23.6)

   
   

2. $F$は安定行列（固有値の実部がすべて負である行列）である．

証明　(8.1),(8.2),(8.3)より

$$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dt}(Ux-z) &=& U\dot{x} -\dot{z} \\ &=& U(Ax+Bu)-(Fz+Gy+Hu) \\ &=& (UA-GC)x + (UB-H)u - Fz \end{eqnarray*}$$

を得る．上式右辺に(8.6),(8.7)を用いると

$$\frac{d}{dt}(Ux-z) = FUx-Fz = F(Ux-z)$$

となる．したがって

$$Ux(t) - z(t) = e^{Ft}(Ux(0)-z(0))$$ (23.7)

を得る．他方，(8.2),(8.4),(8.8)より

$$x(t)-w(t) = I_n x(t) -(Wz(t)+VCx(t)) = W(Ux(t)-z(t))$$ (23.8)

となる．(8.9),(8.10)と$F$が安定行列であることから

$$\lim_{t \to \infty} \Vert x-w\Vert = \lim_{t \to \infty} \Vert We^{Ft}(Ux(0)-z(0))\Vert = 0$$

が成り立ち，(8.5)式を満たす．

以上の証明から判るように，オブザーバの状態変数$z$は，もとのシステムの状態変数$x$の線形関数$Ux$の推定値と考えることができる．そうなるための条件が(8.6)及び(8.7)である．また，その推定誤差$Ux-z$が，$0$に収束する条件が条件2.である．さらに$z$と$y$から構成される$w$が，$x$の推定値となるための条件が(8.8)式である．