: 最小次元状態オブザーバ
: sysconh16
: 状態オブザーバの定義
本節では,状態と同一の次元数をもつ状態オブザーバの一つを与える.
すなわち,の場合を考える.
まずシステム(8.1),(8.2)のモデルを
とおき,推定誤差を考えると,
となる.したがって,が安定行列ならば
であるから,システム(8.11),(8.12)は,一つの状態オブザーバとなっている.しかしその推定値の真値への収束速度はに依存する.この収束速度を高め,また,安定でないに対しても適用できるように,制御対象の出力とそれに対応するモデルからの推定出力との偏差にフィードバックゲインを乗じてモデルに加えて
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(24.3) |
とする.これは(8.3),(8.4)式において
と取ることに対応する.
したがって,が安定行列となるようにを選ぶことができれば,
とすることにより定理7.1の条件を満たし,システム(8.13)が
(8.1),(8.2)に対する同一次元状態オブザーバとなる.
さらにオブザーバの極,すなわち行列の固有値を任意に配置できれば,
推定誤差を任意の速さで0に収束させることができる.
これに関して次の定理が成り立つ.
定理7.2 システム(8.1),(8.2)に対して,任意に設定した極をもつ同一次元状態オブザーバ(8.13)が存在するための必要十分条件は,対が可観測なことである.
証明 対が可観測であることは,対が可制御であることに等しく,したがって,定理6.2よりの固有値を任意に設定できることに等しい.
このことはの固有値を任意に設定できることに等しく,これより(8.13)でとしたものが設定された極をもつ同一次元状態オブザーバとなる.
1出力システムについてはアッカーマンのアルゴリズムを適用できる.すなわち,設定したい極を
とし,
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(24.4) |
とするとき,(21.7)式より,次式が得られる.
例7.1 システム
に対して,
を極とする同一次元状態オブザーバを求める.
まずこのシステムは可観測であるから,このようなオブザーバは存在する.
そこで,(24.5)より,は
と求められる.
よって同一次元状態オブザーバは,(8.13)より
で与えられる.
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endo
平成16年6月30日