線形関数オブザーバ

本節ではシステム(8.1),(8.2)の状態$x(t)$そのものでなく，その線形関数$Kx(t)$を推定することを考える．

線形関数オブザーバの必要性は，通常状態変数$x$が直接観測できないとき，オブザーバによる推定値$w$を用いて線形フィードバック則$u=Kx+v$を$u=Kw+v$で代用することが行なわれる．このような目的でオブザーバを用いる場合には必ずしも$x$そのものを推定する必要はなく，フィードバック則$Kx$の推定値を求めればよいことがわかる．また，その場合$Kx$の値は前節で述べた最小次元状態オブザーバよりもさらに低い次数のオブザーバで推定できることが多い．

このようなことから以下では$K$を$s \times n$行列$(s \leq n)$とする．(8.3),(8.4)すなわち

$$\dot{\tilde{z}} = Fz + Gy + Hu$$ (26.1)

$$w = Wz+Vy$$ (26.2)

において出力$w$が

$$\lim_{t \to \infty}\Vert Kx-w\Vert=0$$

を満足するとき，システム(26.1),(26.2)を線形関数オブザーバと呼ぶ．

定理7.3　$p$次元システム(26.1),(26.2)は，その係数行列 $F,G,H,W,V$が次の条件を満たすとき，システム(8.1),(8.2)に対 して$Kx(t)$を推定する線形関数オブザーバである．

1. 適当な$p \times n$行列$U$を選んだとき，次の３式を満足する．
   

   $$UA-FU = GC$$ (26.3)

   $$H = UB$$ (26.4)

   $$VC + WU = K$$ (26.5)

   
   

2. $F$は安定行列である．

証明　定理7.1の条件と異なるのは(26.5)のみであるから，定理7.1の証明中の式(8.9)まではそのまま成立する．さらに式(8.2),(26.2),(26.5)より

$$Kx(t) - w(t) = W(Ux(t)-z(t))$$ (26.6)

となる．(8.9),(26.6)と$F$が安定行列であることから

$$\lim_{t \to \infty} \Vert Kx - w \Vert = \lim_{t \to \infty} \Vert We^{Ft}(Ux(0)-z(0))\Vert=0$$

となり線形関数オブザーバになっている．

例7.3　例7.1のシステム

$$\dot{x} = \left[ \begin{array}{cc}1 & 1 0 & 1 \end{array}... ...]u,\quad y = \left[ \begin{array}{cc}1 & 1\end{array}\right] x$$

に対して， $-\left[ \begin{array}{cc}5 & 4 \end{array}\right]x$を推定し，その極が$\{-2\}$になるような線形関数オブザーバを求める．

まず${\rm rank}C=1$及び $w=-\left[ \begin{array}{cc}5 & 4 \end{array}\right]x$より線形オブザーバ

$$\begin{eqnarray*} \dot{z} &=& Fz + Gy + Hu \\ w &=& Wz + Vy \end{eqnarray*}$$

の係数行列はすべてスカラーである．

次にオブザーバの極が$\{-2\}$であるためには$F=-2$でなければならない．

さらに$U$を $U=\left[ \begin{array}{cc} u_1 & u_2 \end{array}\right]$とおくと，(26.3),(26.4),(26.5)より

$$3u_1 = u_1 + 3u_2 = G, \quad H = u_2, \quad W(u_1-u_2)=-1$$

を得る．上式より$u_1$を適当に与えれば$G,H,W$がすべて決まる． ここでは仮に$u_1=3$と取ることにする．これにより

$$u_2=2, \quad G=9, \quad H=2, \quad W=-1$$

が得られる．さらに(26.5)より$V=-2$となり，線形関数オブザーバの一つが

$$\begin{eqnarray*} \dot{z} &=& -2z + 9y + 2u, \\ w &=& -z -2y \end{eqnarray*}$$

で与えられる．

演習問題1　システム

$$\dot{x} = \left[ \begin{array}{cc}1 & 0 -2 & 1 \end{array... ...]u,\quad y = \left[ \begin{array}{cc}1 & 1 \end{array}\right]x$$

に対して， $\left[ \begin{array}{cc}1 & -5\end{array}\right]x$を推定し，極が $\{-3\}$となるような線形関数オブザーバを求めよ．

（解）　まず${\rm rank}C=1$及び $w = \left[ \begin{array}{cc}1 & -5\end{array}\right]x$より線形関数オブザーバの係数行列はすべてスカラーである．

さらにオブザーバの極が$\{-3\}$であることから$F=-3$となる． 次に $U=\left[ \begin{array}{cc} u_1 & u_2 \end{array}\right]$とおくと

$$4u_1 - 2u_2 = 4u_2 = G, \quad H = -u_1 + u_2, \quad W(u_1-u_2)=6$$

となるから$u_2=2$ととれば

$$G=8, \quad u_1 = 3, \quad H=-1, \quad W=6, \quad V=-17$$

となり，線形関数オブザーバの一つは

$$\begin{eqnarray*} \dot{z} &=& -3z + 8y - u, \\ w &=& 6z -17y \end{eqnarray*}$$

で与えられる．

演習問題２　システム

$$\dot{x} = \left[ \begin{array}{cc}2 & 0 0 & -2 \end{array... ...]u,\quad y = \left[ \begin{array}{cc}1 & 1 \end{array}\right]x$$

に対して， $\left[ \begin{array}{cc}-17/4 & 1/4\end{array}\right]x$を推定し，極が $\{-3\}$となるような線形関数オブザーバを求めよ．