通信工学

1. 目的

離散フーリエ変換について理解する。また、AM・FM変調方式について数値解析を行い、周波数特性を理解する。

2. 理論

2.1 工学における周波数解析の重要性

電気情報をはじめとする工学において、信号の周波数解析が使われている実例を各自調べて簡単にまとめること。

ただし、参考文献に必ず1つ以上書籍または論文¹、あるいは著者の本名と所属が明らかな資料を含むこと。

各種要件を守らない場合、レポートの「理論」の点数から減点する。

2.2 フーリエ級数展開

周期 $T$のある周期信号 $f(t)$ が存在するとき、 $f(t)$がどのような周波数の正弦波で構成されているか、

あるいはどのような周波数の波を足し合わせて表現できるかを求めたい。

このときに使われるのがフーリエ級数展開である。

$f(t)$がいくつかの周波数のsin波、cos波および直流成分（定数）の足し合わせで表せるとすると、 $f(t)$は以下のように表現できる。

$$f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^{\infty} \left\{ a_k \cos{\left(\frac{2\pi k}{T} t \right)} + b_k \sin{\left(\frac{2\pi k}{T} t \right) } \right\}$$

この式の $a_0, a_k, b_k$といったフーリエ係数を求めることで、信号 $f(t)$を正弦波の足し合わせで表現できる。

それぞれの係数は以下のように求められる。

$$\begin{eqnarray} a_0 &=& \frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)dt \\ a_k &=& \frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)\cos{\left(\frac{2\pi k}{T}t\right)}dt \,\,\,(k=1,2,3,\ldots) \\ b_k &=& \frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)\sin{\left(\frac{2\pi k}{T}t\right)}dt \,\,\,(k=1,2,3,\ldots)\\ \end{eqnarray}$$

たとえば $f(t)$の中にある $\cos{\left(\frac{2\pi k}{T}t\right)}$成分の大きさ $a_k$を求めたい場合、

$f(t)$に $\cos{\left(\frac{2\pi k}{T}t\right)}$をかけて1周期ぶん積分している。

（導出については、意欲のある学生は追記すること）

2.3 複素フーリエ級数展開

上記のフーリエ級数展開について、cos成分を実部、sin成分を虚部とした複素数にすることでより単純な記述ができる。

$$f(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} c_k e^{j\frac{2\pi k}{T}t}$$

この式のフーリエ係数 $c_k$は以下のように求められる。

$$c_k = \frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t) e^{-j\frac{2\pi k}{T}t} dt \,\,\,(k=\ldots ,-2, -1, 0, 1, 2, \ldots)$$

2.4 離散フーリエ変換

複素フーリエ級数展開は連続信号に対するものであったが、コンピュータが計算できる離散信号に対する同様の操作が存在し、それを離散フーリエ変換と呼ぶ。

$i=0, 1, \ldots , N-1$のサンプルで与えられた周期信号 $f[i]$について、複素フーリエ級数展開の式を参考にすると $f[i]$は以下のように表せる。

$$f[i] = \sum_{k=0}^{N-1} c_k e^{j\frac{2\pi k}{N}i}$$

この式の係数 $c_k$は以下のように求められる。

$$c_k = \frac{1}{N}\sum_{i=0}^{N-1} f[i] e^{-j\frac{2\pi k}{N}i} \,\,\,(k= 0, 1, \ldots, N-1)$$

2.5 振幅変調

この項目は、各自調べて簡単にまとめること。変調波の周波数スペクトルについて説明する図を自分で作って説明に使用すること。

2.6 周波数変調

この項目は、各自調べて簡単にまとめること。変調波の周波数スペクトルについて説明する図を自分で作って説明に使用すること。

3. 実験方法

以下に示すシミュレーションを任意のプログラミング言語で行う。

参考として、Jupyter Notebook (Python) でプログラムの一部を記述している。

Google Colabを使用することで、簡単にプログラムを実行できる。他の言語や実行環境でもよい。

通信工学のサンプルプログラム

3.1 離散フーリエ級数

$N=256$とし、振幅がpeak-to-peakで2の方形波となる配列を作成する。方形波の位相は問わない。

この配列に対して離散フーリエ変換を行い、係数 $c_0, c_1, c_2, c_3, c_4, c_5$を求める。係数についている数字は周波数である。

横軸を周波数、縦軸をそれぞれの係数の絶対値（係数は複素数となるため）としたグラフを作成する。

また、peak-to-peakで振幅2の三角波に対しても同様の操作を行い、結果をグラフにする。

3.2 離散フーリエ変換

3.1で作成した方形波について、離散フーリエ変換を行い、周波数 $0$から $N-1$までの全ての係数を計算する。

三角波に対しても同様の計算をする。

3.3 逆離散フーリエ変換

3.2で得られた係数を使い、正弦波を重ね合わせることでもとの波形を復元する。

また、周波数3までの係数( $c_0, c_1, c_2, c_3$)および周波数5までの係数( $c_0, c_1, c_2, c_3, c_4, c_5$)を使って復元を行い、

全ての周波数を使って復元した場合と結果を比較する。

三角波に対しても同様の操作を行う。

3.4 振幅変調

信号波として周波数 $f_s$のcos波を振幅変調すると、以下の式となる。

$$V_{AM}[i]=\left(1+m_a \cos{(2\pi i f_s /N)}\right)\cos{(2\pi f_c i/N)} \,\,\,(i=0, 1, \ldots , 255)$$

振幅変調した波形について、離散フーリエ変換を行い振幅スペクトルを図示する。

ただし、搬送波の周波数 $f_c=10, N=256$とする。

その他のパラメータは適切に変更し、変化を確認する。

3.5 周波数変調

信号波として周波数 $f_s$のcos波を周波数変調すると、以下の式となる。

$$V_{FM}[i]=\cos{(2\pi i f_c/N+\beta \sin{(2\pi i f_s/N)})} \,\,\,(i=0, 1, \ldots , 255)$$

周波数変調した波形について、離散フーリエ変換を行い振幅スペクトルを図示する。

ただし、搬送波の周波数 $f_c=10, N=256$ とする。

その他のパラメータは適切に変更し、変化を確認する。

振幅変調のデモ

周波数変調のデモ